Hobbyer i Karasjok

Problem

Ved en skole i Karasjok spiller 15 elever i korps, og 12 elever går på dans.
Hvor mange elever spiller både i korps og går på dans, dersom 13 elever gjør bare én av delene?

 

Løsning

Prøving og feiling med venndiagram

Det første venndiagrammet viser de 15 elevene som spiller i korps, og de 12 elevene som går på dans, som prikker. I dette diagrammet er alle plassert i bare én av gruppene:

 

venndiagram

Når vi plasserer én elev i det overlappende området, må vi ta én fra hver gruppe, siden eleven som er i det overlappende området, er i begge gruppene. Det er fortsatt 15 elever i korpsgruppen og 12 i dansegruppen:

 

venndiagram

For hver elev som plasseres i det overlappende området, reduseres antall elever som er med i bare én av gruppene, med 2. Vi kan fortsette med å flytte elever over til det overlappende området helt til antall elever i bare én gruppe blir 13:

 

venndiagram

I det siste venndiagrammet ser vi at det er 13 elever som er med i bare én av gruppene, mens 7 elever er med på både korps og dans.

Algebra og venndiagram

15 elever spiller i korps, og 12 elever går på dans. Det vil si at det er 15 elever i den grønne sirkelen og 12 elever i den blå sirkelen.

 

sirkler

De to sirklene kan overlappe hverandre slik at de danner et venndiagram:

 

venndiagram

Det fargelagte området (rosa + gul) inneholder \(13 + \textrm{gult område}\).
Ved å legge sammen den grønne sirkelen og den blå sirkelen vil vi få samme tall, bortsett fra at det overlappende området telles med to ganger. Det gir oss \(13+2\cdot \textrm{gult område}\) i stedet.
Det vil si at

\(\begin{align} 15+12&=13+2\cdot \textrm{gult område} \\ 14&=2\cdot \textrm{gult område} \\ \textrm{gult område}&=7 \end{align}\)

7 elever spiller både i korps og går på dans.

Vi kan også systematisere informasjonen i en tabell for å løse problemet.

Denne tabellen er fylt ut med hensyn til x, som tilsvarer antall elever i begge gruppene.

 

Dans

Korps

 

Ja

Nei

Totalt

Ja

x

15-x

15

Nei

12-x

 

Totalt

12

 

Vi vet at \(15-x\) og \(12-x\) til sammen blir 13, altså \(15-x+12-x=13\).
Deretter kan vi løse likningen:

\(\begin{align} 15-x+12-x&=13\\ 2x&=14\\ x&=7 \end{align}\)

 

 

Ressursen er utviklet av NRICH