Pinnedeling

Problem

Se for deg to pinner der den ene er 70 cm lang, og den andre er 20 cm lang.
Er det mulig å dele en av pinnene i to deler, slik at lengden til en av de tre pinnene er nøyaktig lik gjennomsnittslengden til de to andre?

 

Løsning

Ved resonnering
Om gjennomsnittet til to pinner er lik lengden til den tredje lengden, må gjennomsnittet til alle tre pinnene også være lik lengden til den tredje pinnen.
Vi vet at summen av alle de tre pinnene er \(70\:cm+20\:cm=90\:cm\), som betyr at gjennomsnittslengden deres er \(90\:cm:3=30\:cm\). Det betyr at vi må ha en pinne som er 30 cm lang. Den må komme fra pinnen som er 70 cm lang, som deles i to pinner på 30 cm og 40 cm. De tre pinnene blir da 20 cm, 30 cm og 40 cm.


Algebraisk
Anta at pinnen på 70 cm blir delt i to lengder på a cm og b cm, der \(a+b=70\), og den lengste av de to er a cm lang. Det betyr at b er gjennomsnittet av a og 20, \(a+20=2b\Rightarrow a=2b-20\). Ved å sette dette inn i \(a+b=70\) får vi

\(\begin{align} (2b-20)+b&=70\\ \Rightarrow3b-20=70\\ \Rightarrow3b=90\\ \Rightarrow b=30 \end{align}\)


Når \(b=30\), må \(a=2\cdot30-20=40\). Det betyr at pinnen på 70 cm må deles to lengder, en på 30 cm og en på 40 cm.

 

Ressursen er utviklet av NRICH