Toppkarakterer

Problem

Noen elever tar en eksamen der det er 50 obligatoriske flervalgsoppgaver. Det gis 2 poeng for hvert rett svar og –1 for gale svar, men elevene kan ikke få mindre enn 0 poeng.

Tre av elevene diskuterer mulige poengsummer. De tenker på hvert sitt sentralmål.

Tobias sier: «Ingen kan skåre det sentralmålet jeg tenker på.»

Sofia sier: «Ingen vil skåre høyere enn det sentralmålet jeg tenker på.»

Josef sier: «Det er bare én person som skårer det sentralmålet jeg tenker på.»

Hver av de tre elevene tenker på ett av de tre sentralmålene gjennomsnitt (aritmetisk gjennomsnitt), median og typetall. Ingen av dem velger samme sentralmål.

Kan du sette opp et utvalg med resultater av denne eksamenen som er slik at utsagnene til alle de tre elevene er sanne samtidig? Hvilket av de tre sentralmålene har hver av dem i tankene?

Finn en løsning for to tilfeller:

  • Antall eksaminander (og resultater) er et partall.
  • Antall eksaminander er et oddetall.

Forklar hvorfor det er umulig for de tre elevene å bytte sentralmålet de tenker på, i begge disse tilfellene.

Utvidelse av oppgaven:

Tenk over om det alltid vil være mulig, uansett hvor stor elevgruppe som tar eksamen, at de tre utsagnene til Tobias, Sofia og Josef vil være sanne for tre ulike sentralmål samtidig.

Starthjelp

  • En kort repetisjon av de tre sentralmålene som brukes i oppgaven:
    • Gjennomsnitt (aritmetisk gjennomsnitt) finner vi ved å dele summen av verdiene til alle utfallene på antall utfall.
    • Medianen er det utfallet som er i midten dersom vi ordner alle utfall i stigende rekkefølge. Hvis antall utfall er et partall, er medianen gjennomsnittet av de to midterste utfallene.
    • Typetallet er det utfallet som har høyest frekvens, det vil si det som opptrer flest ganger.
  • Hvilke poengsummer er det mulig å få på denne eksamenen?
  • Sofia sier: «Ingen vil skåre høyere enn det sentralmålet jeg tenker på.» Hvilket av de tre sentralmålene tenker hun på? Hva har det å si for fordelingen av poengsummer i eksempelet du vil lage?
  • Tobias sier: «Ingen kan skåre det sentralmålet jeg tenker på.» Hvilket eller hvilke av de tre sentralmålene kan gi en poengsum som det er umulig å oppnå?

Løsning

Siden det gis 2 poeng for rett svar og –1 for galt svar, og det er 50 spørsmål, vil høyeste poengsum være 100. Med 49 rette og ett feil svar blir det 97 poeng. For 48 rette og 2 feil svar blir det 94 poeng.

De mulige poengsummene blir 0, 1, 4, 7, 10, …, 94, 97, 100.

Vi ser på to mulige kombinasjoner av resultater.

Anta at 4 elever tar eksamen og får følgende poengsummer: 91, 97, 100, 100.

I dette tilfellet tenker Sofia på typetallet, Tobias på medianen og Josef på gjennomsnittet.

Anta så at 5 elever har skåret følgende poengsummer: 91, 94, 97, 100, 100.

Også i dette tilfellet tenker Sofia på typetallet, mens Tobias tenker på gjennomsnittet og Josef på medianen.

Forklaring

Alle som tar eksamen, kan ikke få samme poengsum, for i så fall blir alle sentralmålene lik denne poengsummen, og Tobias’ utsagn blir usant.

Sofia kan ikke velge gjennomsnittet, for det blir lik den høyeste poengsummen bare hvis alle poengsummene er like høye, og det alternativet har vi utelukket.

Hvis Sofia velger medianen, må medianen være lik den høyeste poengsummen, og mer enn halvparten av alle resultatene må være lik medianen. Josef kan ikke velge typetallet, siden bare én person skal skåre det sentralmålet han tenker på. Så hvis Sofia tenker på medianen, må Josef tenke på gjennomsnittet. Og da må Tobias tenke på typetallet. Men det går ikke, for han tenker på et sentralmål som ingen skal kunne oppnå.

Altså må Sofia tenke på typetallet, og det må være lik det høyeste tallet i utvalget.

Da er det to muligheter for Tobias og Josef:

  1. Tobias tenker på gjennomsnittet og Josef på medianen.
  2. Tobias tenker på medianen og Josef på gjennomsnittet.

Hvis antallet elever som tar eksamen, er et oddetall:

Medianen er alltid et resultat som er oppnådd av minst én elev. Tobias tenker på et sentralmål som ingen oppnår som poengsum, så han må tenke på gjennomsnittet. Så må Josef tenke på medianen, og resultatene må være slik at det er bare én elev som får medianen som poengsum (alternativ 2).

Hvis antallet elever som tar eksamen, er et partall:

Josef kan ikke tenke på medianen, for medianen blir lik en oppnåelig poengsum bare hvis minst to elever har fått denne poengsummen. Men Josef tenker på et sentralmål som bare én elev fikk. Da må Josef tenke på gjennomsnittet, og Tobias på medianen. Og for at ingen elever skal kunne få medianen som poengsum, må resultatene være sammensatt slik at de to midterste resultatene er ulike (alternativ 1).

Ressursen er utviklet av NRICH