Den beste vinnersjansen

Aktivitet

Her er det fem konkurranser du kan delta i. Hvilken av disse konkurransene vil du velge?

Hva gir deg den beste vinnersjansen?

  • Du vinner hvis du kaster en mynt og får kron tolv ganger etter hverandre.
  • Gartneren har rangert de sju favorittplantene sine i rekkefølge. Hvis du rangerer dem i samme rekkefølge, vinner du.
  • Velg de fire mest berømte av ti berømte malerier, og sett dem i riktig rekkefølge, så vinner du.
  • Kast fem terninger og få fem seksere, så vinner du.
  • Du vinner hvis du kaster fire tisidete terninger og får fire seksere.

Starthjelp

Prøv med enklere situasjoner, for eksempel:

  • Tenk deg at du kaster en mynt. Hva er sannsynligheten for å få to krone etter hverandre? Enn tre krone?
  • Hvis gartneren har to favorittplanter, hva er sannsynligheten for at du rangerer plantene i samme rekkefølge som henne? Hva blir sannsynligheten hvis hun har tre favorittplanter?
  • Hva er sannsynligheten for at du velger det mest berømte av de ti mest berømte maleriene? Hva er sannsynligheten for å velge de to mest berømte i riktig rekkefølge?
  • Hva er sannsynligheten for å få en sekser på en terning? På to terninger? På tre?
  • Hva er sannsynligheten for å få en sekser på en tisidet terning? To seksere?
  • Utvid løsningene ovenfor til å løse et eller flere av problemene i oppgaven. Begynn gjerne med det du synes er enklest.
  • Det er ikke sikkert at alle problemene i oppgaven får ulike svar.

Løsning

  • Du vinner hvis du kaster en mynt og får krone tolv ganger etter hverandre.
    • Sannsynligheten for å få krone i ett myntkast er \(\frac12\).
    • Sannsynligheten for å få krone i to myntkast etter hverandre er \(\frac12\cdot\frac12=\frac14\).
    • Sannsynligheten for å få krone i tolv myntkast etter hverandre er \((\frac12)^{12}=\frac1{4096}\).
  • Gartneren har rangert de sju favorittplantene sine i rekkefølge. Hvis du rangerer dem i samme rekkefølge, vinner du.
    • Hvis gartneren har to favorittplanter, kan de ordnes i rekkefølge på \(1\cdot2=2\) ulike måter. Sannsynligheten for at du ordner plantene på samme måte som gartneren, er \(\frac12\).
    • Hvis gartneren har tre favorittplanter, kan de ordnes i rekkefølge på \(1\cdot2\cdot3=6\) ulike måter. Sannsynligheten for at du ordner plantene på samme måte som gartneren, er \(\frac1{1\cdot2\cdot3}=\frac16\).
    • Hvis gartneren har sju favorittplanter, kan de ordnes i rekkefølge på \(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7=7!=5040 \) ulike måter. Sannsynligheten for at du ordner plantene på samme måte som henne, er \(\frac1{7!}=\frac1{5040}\).
  • Velg de fire mest berømte av ti berømte malerier, og sett dem i riktig rekkefølge, så vinner du.
    • Sannsynligheten for å velge det mest berømte maleriet av de ti mest berømte er \(\frac1{10}\).
    • Sannsynligheten for å velge de to mest berømte av de ti mest berømte maleriene i riktig rekkefølge er \(\frac1{10}\cdot\frac19\).
    • Sannsynligheten for å velge de fire mest berømte av de ti mest berømte maleriene i riktig rekkefølge er \(\frac1{10}\cdot\frac19\cdot\frac18\cdot\frac17=\frac1{5040}\).
  • Kast fem terninger og få fem seksere, så vinner du førstepremie.
    • Merk: Det blir i prinsippet samme situasjon om du kaster fem terninger samtidig eller om du kaster en terning fem ganger etter hverandre. Når vi regner sannsynligheter, tenker vi at vi kaster en terning flere ganger.
    • Sannsynligheten for å få to seksere ved to terningkast etter hverandre er \((\frac16)^2\).
    • Sannsynligheten for å få fem seksere ved fem terningkast etter hverandre er \((\frac16)^5=\frac1{7776}\).
  • Du vinner førstepremie hvis du kaster fire tisidete terninger og får fire seksere.
    • Sannsynligheten for å få to seksere ved to terningkast etter hverandre er \((\frac1{10})^2\).
    • Sannsynligheten for å få fire seksere ved fem terningkast etter hverandre er \((\frac1{10})^4=\frac1{10000}\).

Så må du avgjøre hvilken brøk som er størst:

\(\frac1{4096}\) eller \(\frac1{5040}\) eller \(\frac1{7776}\) eller \(\frac1{10000}\).

Alle brøkene har 1 i telleren. Den største brøken er den som har den minste nevneren, 4096. Konkurransen med størst vinnersjanse er altså den med tolv myntkast.

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Oppgaven gir god trening i å vurdere, sammenligne og regne ut sannsynligheter. Elevene kan prøve å gjette hvilken av de fire konkurransene som har størst vinnersjanse, og de kan regne ut sannsynlighetene.

Mulig tilnærming

Presenter problemet, og forklar elevene at de skal peke ut konkurransen med best vinnersjanser, uten andre hjelpemidler enn blyant og papir. Gi dem litt tid til å diskutere i par eller små grupper, og sørg for at alle har forstått hva de fem konkurransene går ut på. Be alle parene eller gruppene si hvilket av spillene de tror har best vinnersjanser, og begrunne det.

Sett så elevene i gang med å regne ut sannsynlighetene. Anbefal dem til å skrive sannsynlighetene som brøker heller enn som desimaltall, så blir regningen enklere.

Følg med på arbeidet mens de regner ut sannsynlighetene. Legg merke til om de har forstått problemet i hver av oppgavene, og om de tenker riktig når de løser dem. I mange klasser passer det med en diskusjon om hvordan en må tenke for å beregne vinnersjansen i de fem konkurransene. For mange kan det være et godt utgangspunkt å begynne med et enklere problem, slik det er vist i løsningsforslaget.

Siden elevene ikke har fått bruke hjelpemidler, vil sikkert mange ha kommet fram til brøker med 1 i telleren og et produkt av mange tall i nevneren. Kan de sammenligne nevnerne uten å regne dem ut? Hva er den minste nevneren?

Til slutt kan elevene se tilbake på det de gjettet før de begynte å regne. Ville det vært lurt å stole på intuisjonen? Ville de ha våget å satse penger på noen av disse fem konkurransene? Hva kunne i så fall vært en rimelig pris for hvert forsøk?

Gode veiledningsspørsmål

  • Hvilket spill tror du det er enklest å vinne?
  • Hvordan kan du sammenligne to brøker med ulike nevnere?

Mulig utvidelse

Elevene kan finne på flere spill med lignende vinnersannsynligheter.

Dere kan gå nærmere inn på spillene i oppgaven og studere hvordan vinnersjansene forandres hvis dere endrer noe i forutsetningene. Kan en liten endring i reglene gi bedre vinnersjanse? Hva kan gi dårligere vinnersjanse?

Ekstraoppgave:

Det koster 10 kr å spille hvert av spillene nedenfor. Hvilket er det lurest å satse på?

  • Du vinner 30 kr hvis du kaster fire mynter og får to mynt og to kron.

eller

  • Du får 20 kr for hver sekser når du kaster tre terninger (standardterninger med 1–6 øyne).

Mulig støtte

Elevene kan få bruke kalkulator for å finne sannsynlighetene. I denne aktiviteten er hovedfokuset forståelsen og utregningen av sannsynligheter.

Ressursen er utviklet av NRICH