For fattig og rik

Aktivitet

I det rike landet Smaragd er gjennomsnittlig årslønn 900 000 kr.

I det fattigere nabolandet Flint er gjennomsnittslønna 300 000 kr per år.

Karl bor i Smaragd og tjener 600 00 kr per år.

Han flytter til Flint og sier: «Nå har jeg gjort begge landene rikere!»

Hva mener han med det?

Kan du forklare hva han mener med det? Har han rett?

Hvordan kan ellers flytting mellom landene påvirke gjennomsnittslønnene i de to landene?

Forklar hva som kan

  • øke gjennomsnittlig inntekt i begge land
  • minke gjennomsnittlig inntekt i begge land
  • øke gjennomsnittsinntekten i det ene landet mens den miner i det andre

Ekstra problem

Vil det være mulig for noen å flytte fra Smaragd til Flint, og redusere gjennomsnittslønna i Smaragd og samtidig doble den gjennomsnittlige årslønna i Flint?

Starthjelp

Dere kan bruke et eksempel med to grupper med enklere tall for å se hvordan gjennomsnittene forandrer seg hvis vi flytter et tall fra den ene gruppa til den andre.

For eksempel kan vi regne ut gjennomsnittsalderen for to grupper:

Gruppe A består av personer med alder 2, 7, 11, 14 og 16 år. Gjennomsnittsalderen er 10 år.

Gruppe B består av personer med alder 5, 11, 12, 13 og 19 år. Gjennomsnittsalderen er 12 år.

Undersøk hva som skjer med gjennomsnittsalderen i de to gruppene når forskjellige personer flytter over fra den ene gruppa til den andre.

Da kan dere forklare hva som kan

  • øke gjennomsnittsalderen i begge gruppene
  • minke gjennomsnittsalderen i begge gruppene
  • øke gjennomsnittsalderen i den ene gruppa mens den minker i den andre gruppa

Løsning

Siden Karls inntekt var mindre enn gjennomsnittsinntekten i Smaragd, vil gjennomsnittslønna i landet bli litt høyere når han flytter ut av landet.

Samtidig er årslønna til Karl større enn gjennomsnittlig årslønn i Flint, så når han flytter dit, vil gjennomsnittslønna der øke litt. (Vi forutsetter at han beholder lønna på 600 000 kr per år etter at han har flyttet.)

Karls flytting har gjort at gjennomsnittslønna i hvert av landene har økt. Vi kan gi han rett i at da har begge land blitt litt rikere.

 

Vi kan sette opp alle muligheter og se hvordan gjennomsnittslønnene i de to landene blir påvirket:

Årslønn

 

Flytter

Gjennomsnittlig årslønn i Flint

Gjennomsnittlig årslønn i Smaragd

Mindre enn 300 000 kr

fra Flint til Smaragd

 

høyere

lavere

fra Smaragd til Flint

 

lavere

høyere

300 000 kr

fra Flint til Smaragd

 

uendret

lavere

fra Smaragd til Flint

 

uendret

høyere

Mellom 300 000 kr og 900 000 kr

fra Flint til Smaragd

 

lavere

lavere

fra Smaragd til Flint

 

høyere

høyere

900 000 kr

fra Flint til Smaragd

 

lavere

uendret

fra Smaragd til Flint

 

høyere

uendret

Over 900 000 kr

fra Flint til Smaragd

 

lavere

høyere

fra Smaragd til Flint

 

høyere

lavere

Ekstra problem

Vil det være mulig for noen å flytte fra Smaragd til Flint og redusere gjennomsnittslønna i Smaragd og samtidig doble den gjennomsnittlige årslønna i Flint?

Vi kan tenke oss at det bor n personer i Flint. Siden gjennomsnittslønna er 300 000 kr per år, vil årslønna til alle sammen være n ∙ 300 000 kr.

Vi tenker oss at det kommer en person fra Smaragd som har ei årslønn på x kr. Ny gjennomsnittslønn skal være 600 000 kr, og det bor nå n + 1 personer i Flint.

\(\begin{align}\frac{n\cdot300 000+x}{n+1}&=600000\\ n\cdot300 000+x&=600000(n+1)\\ x&=600000n+600000-300000n\\ x&=300000n+2\cdot300000\\ x&=(n+2)300000 \end{align} \)

Hvis det skal være mulig å doble gjennomsnittsinntekten i Flint, må den som kommer, tjene (n + 2) ∙ 300 000 kr, altså 300 000 kr multiplisert med én mer enn antall personer i Flint etter at rikingen flyttet inn. Vi kan diskutere hvor stort tallet n kan være for at dette skal være mulig. Vi må tenke oss at Flint er et land med ganske få innbyggere.

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Denne aktiviteten kan gi elevene dypere forståelse av gjennomsnitt. Det uventede resultatet, at en flytting kan gjøre begge land rikere, kan lede til flere spørsmål om hva som er mulig om det skjer flytting mellom to grupper. Oppmuntre elevene til selv å stille spørsmål og til å arbeide systematisk, slik at de kan få oversikt. Dette er to viktige matematiske ferdigheter.

Mulig tilnærming

Før problemet i denne oppgaven presenteres, kan klassen repetere kunnskapen om gjennomsnitt gjennom et enklere spørsmål. Tegn følgende tabell på tavla:

Anna

Bjørn

Cecilie

David

Eline

2

8

10

14

16

Tabellen viser alderen til fem barn. Hva er gjennomsnittsalderen til barna?

Hva skjer med gjennomsnittsalderen hvis Anna går ut av gruppa?

Hva skjer med gjennomsnittsalderen hvis Cecilie går ut av gruppa?

Og hva skjer med gjennomsnittsalderen hvis Eline går ut av gruppa?

Forsikre deg om at elevene innser at gjennomsnittet både kan øke, minke eller forbli uendret, avhengig av om alderen på den som går ut av gruppa, er over eller under gjennomsnittet. Dette er fokus i problemet i oppgaven.

Du kan også velge å bruke eksempelet fra «Starthjelp» som introduksjon til oppgaven.

Introduser problemet i oppgaven. Det er antakelig ganske enkelt å svare på dette spørsmålet, så elevene kan få et oppfølgingsspørsmål:

Hva kan andre flyttinger mellom landene ha å si for gjennomsnittslønnene i landene?

Kanskje trengs det hjelp til å systematisere:

  • Hvilke muligheter for flytting er det?
  • Hvilke størrelser kan bli påvirket? 

La elevene forberede seg på å presentere det de har funnet ut, enten muntlig for hele klassen eller på plakater som kan settes på veggen, slik at alle kan lese hverandres løsninger. Det kan gjøre motivasjonen for å systematisere løsningen sterkere. Elevene får se hvordan en systematisk framstilling kan gi bedre oversikt, og også sikre at de har husket å ta alle mulige alternativer i betraktning.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hva kan få gjennomsnittet til å øke?
  • Hva kan få gjennomsnittet til å minke?

Mulig utvidelse

  • Vil det være mulig for noen å flytte fra Smaragd til Flint og redusere gjennomsnittslønna i Smaragd og samtidig doble den gjennomsnittlige årslønna i Flint?

Interesserte elever kan kanskje også ønske å finne ut om denne måten å påvirke gjennomsnitt på ved flytting mellom to grupper kan brukes i noen praktiske sammenhenger.

Ressursen er utviklet av NRICH