Den engelske vindusfabrikken

Aktivitet

Den engelske vindusfabrikken «Happy Windows» produserer vinduer i mange ulike fasonger og størrelser. Prisen på hvert vindu fastsettes ut fra arealet av vinduet og lengden av innrammingen som trengs. Prisen oppgis i britiske pund, £.

Fabrikken har en oversikt over flere vinduer de kan lage, med priser på hvert vindu, slik bildet viser.

Kan du finne ut hvordan de har fastsatt prisene på vinduene på bildet?

Hvilket vindu har fått feil pris?

Fire vinduer med forskjellig pris Elleve vinduer med forskjellig pris Fire vinduer med forskjellig pris

Figur 1

Du finner en kopioriginal med oppgaven her.
I dette regnearket kan du finne flere sett med priser som er regnet ut etter ulike regler.
Kan du velge en effektiv strategi for å finne ut hvordan prisene har blitt fastsatt?
 

Starthjelp

  • Begynn med å se på vinduene som bare har én rute.
  • Er det noen vinduer som har like lange innramminger?
    Hva er forskjellen på arealene av glass på to slike vinduer?
  • Er det noen vinduer som bruker like mye glass?
    Hva er forskjellen på lengden av innrammingen til to slike vinduer?

Her finner du en tabell med oversikt over arealene og lengden av innrammingen for alle vinduene:

Vis/skjul

Vindu Lengde av innramming Areal Pris
A 28 32 £880
B 16 15 £470
C 12 8 £320
D 20 16 £560
E 18 12 £550
F 12 9 £330
G 26 24 £760
H 8 3 £190
I 14 12 £400
J 8 4 £200
K 17 12 £460
L 23 20 £660
M 24 36 £840
N 20 24 £640
O 16 12 £440

 

Løsning

Det er mange ulike måter å angripe dette problemet på.
Nedenfor viser vi et eksempel:

Vi lar X stå for pris per lengdeenhet av rammen og Y for pris per arealenhet av glasset.
Det er flere vinduer som trenger like lange rammer, for eksempel B og O eller C og F.

B:    16X + 15Y = 470
O:    16X + 12Y = 440
B – O:    3Y = 30
    Y = 10

C:    12X + 8Y = 320
F:    12X + 9Y = 330
F – C:    Y = 10

Det ser ut til at rammene koster £10 per arealenhet.

Vinduene G og N har samme areal, det gjelder også I og K:

G:    26X + 24Y = 760
N:    20X + 24Y = 640
G – N: 6X = 120
    X = 20

I:     14X + 12Y = 400
K:    17X + 12Y = 460
K – I:    3X = 60
    X = 20

Det ser ut til at rammene koster £20 per lengdeenhet.

Vi må kontrollere om disse tallene stemmer for alle vinduene!

Det vil vise seg at de stemmer for alle unntatt vindu E, så det er satt feil pris på vindu E i figuren.
 

Lærerveiledning

Hva ønsker vi med denne oppgaven?

Ofte er matematikkoppgaver oversiktlig presentert, med informasjon, teknikker, mønster og progresjon som kommer tydelig fram gjennom oppgaveteksten. Men hva gjør vi hvis informasjonen kommer hulter til bulter (med mulige feil) og vi skal finne ut av det? Dette problemet gir elevene anledning til å utvikle strategier for å organisere og forstå slike situasjoner. I denne oppgaven er konteksten å beregne omkrets og areal av rektangler.

Dette problemet er også ideelt for å utforske og vurdere ulike måter å sette opp og løse likningssystemer på.

Mulig tilnærming

Utgangspunktet er bildet med alle vinduene med priser.

«Tenk deg at du eier vindusfabrikken. Hva må du ta hensyn til når du skal fastsette priser på de ulike vinduene du skal lage og selge?» Samle og noter ideene til mulige relevante variabler.

«Den engelske fabrikken ‘Happy Windows’ har bestemt pris på vinduene ut fra arealene på glassrutene og lengden av innrammingen som trengs i hvert tilfelle. Her er et arbeidsark som viser prisene på de ulike vinduene. Kan dere finne ut hvordan fabrikken har regnet ut prisene på disse vinduene? Pass på – ett av vinduene har fått feil pris!»

Gi elevene tid til å arbeide sammen. Du kan gå rundt og lytte etter hvilken innsikt elevene har, og hvordan de bruker den. Du kan stille veiledningsspørsmål hvis de står fast.

Så snart elevene mener de har kommet fram til en løsning, kan du utfordre dem til å lete etter flere strategier for å finne systemet fabrikken har brukt for å fastsette priser.

Gi elevene god tid til å samarbeide parvis. Gå rundt og lytt på samtalene, og skaff deg nyttig innsikt om hvordan forskjellige elever tenker og uttrykker seg.

Dette arbeidsarket inneholder all relevant data, samt noen spørsmål som hjelper elevene til å finne effektive metoder for å løse problemet. Hvis du har fokus på å løse likningssystemer, bør du gi klassen tid til å finne så mange ulike måter å løse problemet på som mulig. 

La elevene presentere de ulike løsningsstrategiene for hverandre i samlet klasse.

Videre kan du dele ut Kopioriginal 3 Oppgaver Nivå 1, Kopioriginal 4 Oppgaver Nivå 2 og Kopioriginal 5 Oppgaver Nivå 3, som blir progressivt mer krevende. Disse oppgavene gir elevene anledning til å anvende og videreutvikle metodene de kom fram til i de første oppgavene.

Alternativt kan elevene bruke dette regnearket, som genererer oppgaver i tre vanskegrader. 

Til slutt kan dere bruke regnearket på alle tre nivåer til å diskutere og bli enige om en effektiv måte å løse problemet på og finne hvilket vindu som har fått feil pris

Gode veiledningsspørsmål

  • Er det noen vinduer som har like lange innramminger?
    Hva er forskjellen på arealene av glass på to slike vinduer?
  • Er det noen vinduer som bruker like mye glass?
    Hva er forskjellen på lengden av innrammingen til to slike vinduer?
     

Mulig støtte

I tillegg til forslagene ovenfor kan det være en hjelp å be elever som strever med en så stor mengde informasjon, om å først se bort fra vinduene som er todelte.
 

Ressursen er utviklet av NRICH